Ученые Южно-Уральского государственного университета усовершенствовали итерационный метод для решения краевых задач экранированных уравнений Пуассона и Софи Жермен. Результат опубликован в журнале Mathematics, входящем в ТОР-10 по версии Web of Science.
Напомним, что уравнение Пуассона – одно из трёх фундаментальных уравнений математической физики, необходимое для описания электрических и гравитационных полей. Уравнение Софи Жермен моделирует изгиб пластины в теории упругости.
Ведущий автор статьи – доцент кафедры математического и компьютерного моделирования ИЕТН ЮУрГУ Андрей Ушаков в конце прошлого года защитил докторскую диссертацию, посвящённую анализу стационарных (не зависящих от времени) физических систем методом итерационных расширений.
Новый результат Андрея Ушакова, выполненный совместно с коллегами – доцентом ЮУрГУ Сергеем Алюковым и молодыми учёными ЮУрГУ Евгением Мельцайкиным и Максимом Еремчуком, обобщает результаты докторской на более сложные случаи.
«Мы рассматриваем экранированные уравнения Софи Жермен и Пуассона – рассказывает Андрей Ушаков. – Благодаря этому можно изучать изгиб у пластины и мембраны на упругом основании. Появляется возможность моделировать многослойные фундаменты с учётом воздействия опоры на очередной слой, деформации корпуса корабля, распределения температурных полей».
Обычно инженеры ищут частные решения этих уравнений (краевых задач), соответствующие описаниям конкретных физических процессов. Делают они это с помощью компьютера, а значит удобнее всего искать приближённые решения с использованием методов аппроксимации. Задачи, возникающие после аппроксимации удобно решать итерационными методами, с каждым шагом приближаться к решению, пока погрешность не станет меньше заданного уровня.
Идея Андрея Ушакова и его коллег заключается в том, чтобы оптимальный итерационный параметр выбирался автоматически, а число выполняемых шагов алгоритма было независящим от параметров аппроксимации. Ведь чем меньше ресурсов потребует программа, чем быстрее будет работать, тем лучше.
«Скажем так, наш алгоритм асимптотически оптимален по вычислительным затратам, по количеству операций – поясняет Андрей Ушаков. – Что касается практики, мои ученики Евгений Мельцайкин и Максим Еремчук уже создали программы для расчёта нескольких строительных моделей. По сравнению с теми программами, которые применяли инженеры ранее, когда программа выполняла расчёт за несколько суток, применяемый нами алгоритм – на простом ноутбуке, с расчётом до миллиона узлов – даёт ответ практически в режиме реального времени». Это принесет и экономические выгоды удешевив затраты на расчётную часть проекта.
Идея – хорошо, но за плечами математиков ещё и доказательство сходимости, оптимальности метода и иных формальностей, без которых невозможны строгие математические теоремы.
Тем временем учениками Андрея Ушакова созданы и официально зарегистрированы компьютерные программы, позволяющие на основе нового метода решать конкретные инженерно-строительные задачи. Эти работы выполняются в рамках программы «Приоритет 2030».
Авторы готовы распространить свой метод и на другие полигармонические уравнения в частных производных, в результате чего появится серия компьютерных алгоритмов для моделирования широкого спектра стационарных физических систем.