Математический анализ

Цели и задачи дисциплины

1. Усвоение студентами знаний, умений и навыков на уровне требований ФГОС. 2. Подготовка студентов к изучению общематематических и специальных дисциплин с учетом требований этих дисциплин к математической подготовке. 3. Дать учащимся математические знания, необходимые им в будущей профессиональной деятельности. 4. Дать учащимся математические знания, необходимые им для овладения других предметов. 5. Развить и укрепить в студентах способности к логическому мышлению, к напряженной умственной деятельности. 6. Научить студентов самостоятельно выполнять свои задания.

Краткое содержание дисциплины

Действительные числа и их свойства. Рациональные и иррациональные числа. Несчетность множества действительных чисел. Предел последовательности. Существование предела. Число e. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши. Понятие функции, предел функции. Свойства пределов функций. Непрерывность функции в точке. Разрывы первого и второго рода. Производные функции в точке. Геометрический и физический смысл производной. Непрерывность функции. Свойства производной. Производные элементарных функций. Геометрический смысл дифференциала. Задачи на экстремум. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Правило Лопиталя. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Интегрирование рациональных дробей, иррациональных и трансцендентных функций. Функции многих переменных. Предел и непрерывность функции. Частные производные. Дифференцируемость функций. Геометрический смысл частных производных и первого дифференциала. Неявные функции и теорема о их существовании. Неопределенный интеграл. Способы вычисления неопределенных интегралов. Интегралы от рациональных дробей. Интегрирование трансцендентных функций. Определенный интеграл Римана. Формула Ньютона-Лейбница. Приложения интегралов к вычислению длин дуг, площадей и объемов. Несобственные интегралы. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Абсолютно и условно сходящиеся интегралы. Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов. Критерий сходимости Коши. Необходимое и достаточное условия сходимости ряда с неотрицательными членами. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, критерий Коши, признак Вейерштрасса. Почленное интегрирование и дифференцирование функционального ряда. Степенные ряды. Круг сходимости степенного ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда. Разложение функций в степенный ряд. Аналитические функции. Формула Эйлера. Интегралы, зависящие от параметра. Интеграл и преобразование Фурье. Мера Жордана. Измеримые множества. Кратные интегралы. Криволинейные интегралы. Поверхностные интегралы. Скалярные и векторные поля. Формулы Грина, Гаусса-Остроградского и Стокса. Несобственные интегралы зависящие от параметра. Интегралы Эйлера– Гамма и Вета функции и интеграл Дирихле. Ряды Фурье. Ядро Дирихле, лемма Римана. Теоремы Вейерштрасса. Полнота тригонометрической системы. Признаки Дини, Дирихле и Жордана сходимости рядов Фурье.

Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

Выпускник должен обладать:

ОПК-1 Способен применять фундаментальные знания, полученные в области физико-математических и (или) естественных наук, и использовать их в профессиональной деятельности, в том числе в сфере педагогической деятельности