Математический анализ

Цели и задачи дисциплины

Формирование личности студентов, развитие их интеллекта и способностей к логическому и алгоритмическому мышлению, обучение основным математическим понятиям и методам математического анализа, необходимым для анализа и моделирова-ния, процессов и явлений при поиске оптимальных решений практических задач, методам обработки и анализа результатов численных и натурных экспериментов. Преподавание дисциплины состоит в том, чтобы на примерах математических понятий и методов продемонстрировать сущность научного подхода, специфику ма-тематики и её роль как способ познания мира, общности её понятий и представлений в решении возникающих проблем. При этом решаются следующие задачи: - раскрыть роль и значение математических методов исследования при решении экономических задач; - ознакомить с основными понятиями и методами классической и современной математики; - научить студентов применять методы математического анализа для построения математических моделей реальных процессов и явлений;

Краткое содержание дисциплины

1. Введение в математический анализ. Элементы теории множеств и функционального анализа. Функция одного действительного переменного. Теория пределов. Первый и второй замечательные пределы. Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке, в интервале и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация. Некоторые свойства непрерывных на отрезке функций. 2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной. Производная функции. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Основные правила дифференцирования. Таблица производных. Производные высших порядков. Дифференцирование функций, заданных в параметрическом виде и неявно, логарифмическое дифференцирование. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. Приложения производных к исследованию функций и построению графиков. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке. Решение прикладных задач. Дифференциал функции и его приложения 3. Интегральное исчисление функций одной переменной. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования. Интегрирование рациональных дробей, тригонометрических функций и иррациональных выражений. Определенный интеграл. Основные свойства определенного интеграла. Геометриче-ские и физические приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, вычисление длины дуги плоской кривой, вычисление объема тела вращения. Несобственные интегралы. Приближенные методы вычисления определенного интеграла. 4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Основные понятия. Частные производные. Частные производные первого порядка, их геометрический смысл. Частные производные высших порядков. Дифференциал. Линеаризация функции. Дифференцируемость и полный дифференциал функции. Наименьшее и наибольшее значения функции нескольких переменных. Условный экстремум. Элементы теории скалярного поля. Производная по направлению, градиент, линии и поверхности уровня. 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка Общие сведения о дифференциальных уравнениях. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения. Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. 6. Ряды. Числовые ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда. Знакопеременные ряды. Абсолютная сходимость. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Приложения степенных рядов. Степенной ряд Тейлора и Маклорена.

Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

Выпускник должен обладать:

ОПК-1 Способен применять естественнонаучные и общеинженерные знания, методы математического анализа и моделирования в профессиональной деятельности