Экстремальные задачи и выпуклый анализ. Вариационные принципы

Цели и задачи дисциплины

Курс "Экстремальные задачи и выпуклый анализ. Вариационные принципы" является фундаментальным курсом, в котором изучаются общие свойства выпуклых множеств и выпуклых функций в банаховых пространствах. Знание общих положений курса дает возможность исследовать решения различных задач, связанных с поиском минимумов и максимумов выпуклых функций, определенных на выпуклых множествах. К таким задачам относятся задачи линейного и выпуклого программирования, вариационного исчисления и оптимального управления. Цель курса - дать слушателям навыки исследования негладких выпуклых множеств, основы применения теории двойственности выпуклых функций, теории субдифференциального исчисления выпуклых и слабо выпуклых функций, овладение методом Лагранжа и его обоснование для решения выпуклых экстремальных задач. Курс обеспечивает теоретическую подготовку для таких курсов, как «Методы оптимизации», "Теория экстремумов"., "Вариационное исчисление и др., в которых проводится детализация конкретных методов решения экстремальных задач.

Краткое содержание дисциплины

1. Выпуклые множества в банаховом пространстве. Выпуклая оболочка множества, выпуклые комбинации точек этого множества, их связь. Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке множеств в Rn. 2. Метрика Хаусдорфа для множеств, ее свойства. Теорема о полноте метрического (с хаусдорфовой метрикой) пространства компактов из банахова пространства. 3. Операции Минковского с множествами: сумма, разность, умножение на скаляр. 4. Понятия нижнего и верхнего касательных конусов к множеству в точке, их свойства. 5. Касательный конус Кларка, его выпуклость. 6. Понятия эффективного множества и надграфика функции. 7. Выпуклые функции. Неравенство Иенсена. Функция Минковского и опорная функция множества. Их свойства. Выпуклая оболочка функции, ее свойства. 8. Непрерывность выпуклой функции. 9. Отделимость (простая, сильная, строгая) выпуклых множеств в гильбертовом пространстве. Опорная гиперплоскость, ее существование в любой граничной точке выпуклого множества в Rn. 10. Теорема об отделимости выпуклых множеств из банахова пространства. 11. Преобразование Лежандра–Юнга–Фенхеля. Теорема Фенхеля–Моро о второй сопряженной функции. 12. Инфимальная конволюция функций. Теорема о двойственности инфимальной конволюции и суммы функций при преобразовании Лежандра–Юнга–Фенхеля. 13. Представление выпуклых множеств через пересечение полупространств. 14. Производная по направлениям выпуклой функции, ее представление через инфинум. Непрерывность производной по направлениям. Связь производной по направлениям с касательным конусом надграфика. 15. Субдифференциал выпуклой функции. Теорема Дубовицкого– Милютина о субдифференциале максимума двух выпуклых функций. 16. Теорема Моро–Рокафеллара о субдифференциале суммы функций. 17. Поляра множества и ее свойства. 18. Задача выпуклого программирования. Метод множителей Лагранжа в задаче выпуклого программирования. 19. Локально выпуклые функции. Слабо и сильно выпуклые функции, r-выпуклые функции. Задача r-выпуклого программирования. Необходимые условия экстремума.

Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

Выпускник должен обладать:

ОПК-1 способностью самостоятельно осуществлять научно-исследовательскую деятельность в соответствующей профессиональной области с использованием современных методов исследования и информационно-коммуникационных технологий
ОПК-2 готовностью к преподавательской деятельности по основным образовательным программам высшего образования
ПК-1.1 способностью проводить исследования в области локальных и глобальных свойств функций действительных переменных, их представлений и приближений; отображений бесконечномерных пространств (функционалов, операторов); аналитических функций одного и многих комплексных переменных, их свойств, аналитических продолжений, граничных свойств аналитических функций, различных классов и пространств аналитических функций, представления аналитических функций (ряды, непрерывные дроби, интегральные представления и т. п.), приближений аналитическими функциями (многочленами, рациональными функциями, экспоненциальными многочленами и т. п.), геометрической теории функций одного и многих комплексных переменных, конформных отображений и их обобщений (квазиконформные, биголоморфные и т. п.), краевых задач для аналитических функций, приложения теории потенциала в комплексном анализе и комплексной теории потенциала