Математический анализ

Цели и задачи дисциплины

Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются: формирование математической культуры студентов, фундаментальная подготовка студентов в области математического анализа, овладение современным аппаратом математического анализа для дальнейшего использования в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания. Задачи дисциплины: применение основных аналитических понятий; предела, непрерывности, производной и интеграла к исследованию функций и описанию их свойств, применение упомянутых понятий для решения прикладных задач.

Краткое содержание дисциплины

Предмет математического анализа, сведения о множествах и логической символике, отображение и функции. Действительные числа: алгебраические свойства множества действительных чисел. Теория пределов: предел числовой последовательности; основные свойства и признаки существования предела. Топология на R; предел функции в точке; свойства пределов. Непрерывные функции: свойства непрерывных функций; точка разрыва; существование наибольшего и наименьшего значений; равномерная непрерывность функции, непрерывной на отрезке. Дифференциалы и производные: дифференцируемость функции в точке; производная в точке. Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения; формула Тейлора с остаточным членом; применение дифференциального исчисления к исследованию функций, признаки постоянства, монотонность, экстремумы, выпуклость, точки перегиба, раскрытие неопределенностей; геометрические приложения. Неопределенный интеграл: первообразная функция, неопределенный интеграл и его основные свойства. Определенный интеграл: задачи, приводящие к понятию определенного интеграла; определенный интеграл Римана; критерий интегрируемости; интегрируемость непрерывной функции; свойства определенного интеграла. Функции многих переменных: Евклидово пространство Rn измерений; обзор основных метрических и топологических характеристик точечных множеств евклидова пространства; функции многих переменных, пределы, непрерывность; дифференциал и частные производные функции многих переменных; формула Тейлора для функций нескольких переменных; экстремум. Несобственные интегралы: интегралы с бесконечными пределами и интегралы от неограниченных функций; признаки сходимости; интегралы, зависящие от параметра. Двойной интеграл и интегралы высшей кратности: двойной интеграл, его геометрическая интерпретация и основные свойства; приведение двойного интеграла к повторному; замена переменных в двойном интеграле; несобственные кратные интегралы. Криволинейные интегралы I рода. Криволинейные интегралы II рода. Физический смысл криволинейного интеграла II рода. Формула Грина. Независимость от пути интегрирования. Векторное поле. Векторные линии. Задача о потоке жидкости. Поток векторного поля. Ориентация поверхности. Поверхностные интегралы 2-го рода. Формула Гаусса – Остроградского. Дивергенция. Соленоидальное поле. Оператор Гамильтона. Ротор векторного поля, его физический смысл. Циркуляция. Формула Стокса.

Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

Выпускник должен обладать:

ОПК-1 Способен применять фундаментальные знания, полученные в области математических и (или) естественных наук, и использовать их в профессиональной деятельности
УК-6 Способен управлять своим временем, выстраивать и реализовывать траекторию саморазвития на основе принципов образования в течение всей жизни